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user helfen loser: mathe frage

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    user helfen loser: mathe frage

    "Die Potenzemenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A"

    P(A) = {B|B c A}

    so und jetzt kommts:
    "Sei A eine Menge mit n Elementen, dann hat P(A) 2^n Elemente"

    --> wie kommt man auf 2^n !?

    #2
    1. angenommen A = {1,2,3}

    dann kannst du {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} und {} bilden. sind also 8 = 2^3 elemente.

    Wenn du jetzt noch ne 4 dazunimmst, kommt nochmal jede kombination zusätzlich mit ner 4 drin vor, dann sinds also doppelt so viele ... usw. verständlich?:D

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      #3
      @bratgeraeusche: Du studierst nicht zufällig in Furtwangen? xD
      Wir hatten das heute in ner Vorlesung.

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        #4
        1. A={1,2,...,n}
        Die bildbaren Teilmengen einer n-elementigen Menge laessen sich Auffassen als Zahlen im diadischen System mit Mantissenlaenge n:

        Schreibe unter 1,....,n fuer ein Element eine 1 falls es drin ist, eine 0 falls es nicht drin ist.
        z.B.
        1,2,3,....,n
        1,0,0,....,0
        Das waere die Menge {1}, welche Teilmenge der Menge A ist. So etwas kann man mit allen moeglichen Teilmengen von A machen.
        Frage ist jetzt: Wie viele Teilmengen gibt es?
        Genauso viele, wie es verschiedene Kombinationen aus Nullen und Einsen (alles nur n-lang!) gibt. Also mit etwas Nachdenken sieht man dann auch, dass es genau 2^n sein muessen.

        Alternativ gibt es noch den Ansatz ueber die vollstaendige Induktion, ich finde die Bijektion zur diadischen Darstellung jedoch verstaendlicher.

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          #5
          wette du haste die leere menge vergessen, die ist immer potenzmenge

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            #6
            matze10318 postete
            1. A={1,2,...,n}
            Die bildbaren Teilmengen einer n-elementigen Menge laessen sich Auffassen als Zahlen im diadischen System mit Mantissenlaenge n:

            Schreibe unter 1,....,n fuer ein Element eine 1 falls es drin ist, eine 0 falls es nicht drin ist.
            z.B.
            1,2,3,....,n
            1,0,0,....,0
            Das waere die Menge {1}, welche Teilmenge der Menge A ist. So etwas kann man mit allen moeglichen Teilmengen von A machen.
            Frage ist jetzt: Wie viele Teilmengen gibt es?
            Genauso viele, wie es verschiedene Kombinationen aus Nullen und Einsen (alles nur n-lang!) gibt. Also mit etwas Nachdenken sieht man dann auch, dass es genau 2^n sein muessen.

            Alternativ gibt es noch den Ansatz ueber die vollstaendige Induktion, ich finde die Bijektion zur diadischen Darstellung jedoch verstaendlicher.
            So kann man es sich auf jeden Fall am besten merken. Wobei ich es mir immer etwas "einfacher" überlege:

            Du zeigst (bildlich vorstellen) nacheinander auf jedes Element deiner n-elementigen Menge A und entscheidest: "JA, du bist in meiner Teilmenge." oder "NEIN, du bist nicht in meiner Teilmenge". Mit diesem Verfahren kannst du jede Teilmenge (auch die leere Menge -> immer nein) genau einmal "bauen". Wie viele ja/nein-Entscheidungen hat man zu treffen: n => |P(A)| = 2^n

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              #7
              IllDepence postete
              @bratgeraeusche: Du studierst nicht zufällig in Furtwangen? xD
              Wir hatten das heute in ner Vorlesung.
              hatte wahrscheinlich so ziemlich jeder (-;

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                #8
                Dies ist eine einfache Anwendung des binomischen Lehrsatzes (auch binomische Formeln genannt), siehe
                Binomische Formel
                bzw. direkt auf der Wiki-Seite:
                Wikipedia Link zum binomischen Lehrsatz
                den man sehr leicht induktiv beweisen kann.

                Ist nun A eine Menge mit n elementen, so ist die
                Behauptung: |P(A)| = 2^n.
                Beweis: Wir bemerken zunächst, dass die Anzahl von k-Elementigen Teilmengen von A genau "n über k" ist, was ich im folgenden mit (n,k) bezeichnen werde (das ist prinzipiell per Definition so). D.h. wir müssen nur noch summieren:

                |P(A)| = sum_{i=0}^n (n,i) = (n,0) + (n,1) + ... + (n,n)

                Bemerkung: (n,0) ist die Anzahl der nullelementigen Mengen, da gibts aber nur die leere Menge wie schon in den anderen Antworten erwähnt, genauso ist (n,n) = 1 weil es ja A die einzige n-elementige Teilmenge von sich selbst ist.

                Diese Formel da oben ist aber ein Spezialfall des binomischen Lehrsatzes für x = 1 und y = 1. D.h.

                |P(A)| = sum_{i=0}^n (n,i) = (1 + 1)^n = 2^n.

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                  #9
                  zweiter Teil des Beweises fertig. qed :)
                  schön bana

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                    #10
                    hey, vielen dank schonmal an euch alle, bin grad aber zu fertig mir das durchzulesen, werds morgen machen ;)

                    ps: nein, studiere nicht in furtwangen

                    PS2: ok habs mir doch noch reingezogen, MUSSTE und WOLLTE es einfach verstehen und habs jetzt verstanden!
                    unser dozent hat das einfach nur so an die tafel geklatscht ohne zu erklären und ich hatte das nichma im abi (lk) :f

                    thx agin!

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                      #11
                      hier scheinen wohl einige mathe spinner am werk zu sein.
                      werd ich nie verstehen wie man sowas studieren kann.

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                        #12
                        das sind grundlagen und das hört man in jedem technischen studiengang @ stao

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                          #13
                          da muss ich nach 6 semestern elektrotechnik wohl was verpasst haben ;)

                          zumindest musste ich nie so einen schwachsinn verzapfen

                          "Alternativ gibt es noch den Ansatz ueber die vollstaendige Induktion, ich finde die Bijektion zur diadischen Darstellung jedoch verstaendlicher."

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                            #14
                            STAO postete
                            da muss ich nach 6 semestern elektrotechnik wohl was verpasst haben ;)

                            zumindest musste ich nie so einen schwachsinn verzapfen

                            "Alternativ gibt es noch den Ansatz ueber die vollstaendige Induktion, ich finde die Bijektion zur diadischen Darstellung jedoch verstaendlicher."
                            also wenn man physik studiert, muss man sowas schon hören.
                            aber gut, e-technik scheint wohl weniger ansprüche zu stellen ;)

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                              #15
                              da hast du recht. da gibts nichtmal ne mathe vorlesung

                              Kommentar

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