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    matheproblem.

    Hiho,

    und zwar verstehe ich nciht wie man einen Eigenvektor aus einer 3x3 Matrix herausbekommt.


    Ich habe z.B. folgende Matrix.

    ( -2 -2 0 )
    ( -2 1 0 )
    ( 0 0 0 )

    Ein Eigenwert ist 1 ( in der obigen Matrix habe ich es schon einberechnet)

    Wie mache ich weiter um den Eigenvektor auszurechnen?



    mfg,
    Angie

    #2
    die matrix hat keine lösung
    wenn man die 1. und 2. reihe addiert, kommt folgendes als 1. reihe raus:
    ( 0 -1 0 )

    --> -1 = 0 falsche aussage und so

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      #3
      rechne halt erstmal alle eigenwert aus...

      und so schwer ist des net in ne formelsammlung zu gucken um zu schauen wie man eigenräume bzw eigenvektoren bestimmt...

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        #4
        wenn du den eigenwert schon eingerechnet hast, dann musst du nur noch den kern der matrix ausrechnen, also die vektoren für die dann gilt:
        A * v =0 , wobei A deine Matrix ist und v dann deine Eigenvektoren

        mfg

        Kommentar


          #5
          pilli postete
          wenn du den eigenwert schon eingerechnet hast, dann musst du nur noch den kern der matrix ausrechnen, also die vektoren für die dann gilt:
          A * v =0 , wobei A deine Matrix ist und v dann deine Eigenvektoren

          mfg

          Kommentar


            #6
            jo, also mein ansatz:

            -2x -2y + 0z =0
            -2x +y + 0z =0
            0x +0y + 0z =0

            -2x -2y = 0
            -2x+y+ =0

            jetzt scheitert es.

            mfg

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              #7
              cole.no1 postete
              die matrix hat keine lösung
              wenn man die 1. und 2. reihe addiert, kommt folgendes als 1. reihe raus:
              ( 0 -1 0 )

              --> -1 = 0 falsche aussage und so
              ähm, nein.

              multipliziere die jeweilige Matrix (mit Eigenwert schon einberechnet) mit dem Vektor (x,y,z) (als Spaltenvektor). Dann erhätlst du sowas wie ne 3x1 Matrix jede einzelne Zeile setzt du = 0. Dann hast Du 3 Gleichungen mit 3 unbekannten. Das Gleichungssystem löst Du und die Lösung ist Dein gesuchter Eigenvektor (x,y,z)



              ( -2 -2 0 )
              ( -2 1 0 )
              ( 0 0 0 )

              I -2x-2y =0
              II -2x+y =0

              I+2*(II)= -6x=0 => x=0 => y=0, z= beliebig, z.B. 1

              also wäre ein Eigenvektor (0,0,1).

              Kommentar


                #8
                cole.no1 postete
                die matrix hat keine lösung
                wenn man die 1. und 2. reihe addiert, kommt folgendes als 1. reihe raus:
                ( 0 -1 0 )

                --> -1 = 0 falsche aussage und so

                also ich komme auf

                -4 -1 0
                oder
                0 3 0

                Kommentar


                  #9
                  oh leute bitte erklärt mir den rechenweg :( und was man = 0 oder z.B. = 1 setzen darf und wann.

                  mfg

                  Kommentar


                    #10
                    wenn du in der obigen matrix schon der eigenwert 1 eingesetzt ist, dann ist der zugehörige eigenvektor (0 0 1)

                    du versucht mit den eigenwerten und zugehörigen vektoren ja gerade die werte zu finden die die gleichung Av=µv erfüllen (A matrix, v eigenvektor zum eigenwert µ)

                    Av=µv Av-µv=Av-µEv=(A-µE)v=0 (E einheitsmatrix)

                    zu bestimmung der eigenwerte rechne dir das charakteristische polynom der Matrix (A-µE) aus (bestimme die determinante der matrix, wobei µ noch variabel ist) und bestimme die nullstellen des polynoms - das sind deine eigenwerte.
                    dann löse obige gleichung und du erhälst die eigenvektoren (bzw. eigenräume)

                    bsp. folgt

                    Kommentar


                      #11
                      ok danke!

                      Kommentar


                        #12
                        Bsp.: Obige Matrix (gehe davon aus du hast deinen eigenwert bereits in (A-µE) eingesetzt.
                        A:=
                        (-1 -2 0)
                        (-2 2 0)
                        ( 0 0 1)

                        =>
                        (A-µE) =
                        (-1-µ -2 0)
                        (-2 2-µ 0)
                        (0 0 1-µ)

                        => det(A-µE)=(-1-µ)(2-µ)(1-µ)-4(1-µ)=(1-µ)((-1-µ)(2-µ)-4)=(1-µ)(-2-µ+µ²-4)=(1-µ)(µ²-µ-6) (zur determinantenberechnung bitte wikipedia nachschlagen ;) )

                        hier sieht man da (1-µ) ein linearfaktor ist, dass µ=1 ein eigenwert ist.
                        bleibt µ²-µ-6=0 zu lösen => µ=3 und µ=-2 als weitere nullstellen

                        damit sind deine eigenwerte µ=-2 ; µ=1 und µ=3

                        setze diese nun in (A-µE)v=0 ein

                        damit erhälst du einmal deine Matrix oben für welche der eigenvektor somit (0 0 1) (und alle vielfachen des vektors sind) ist.

                        für µ=3 wäre v=(-1 2 0)
                        und µ=-2 wäre v=(2 1 0) (nachrechnen überlasse ich dir - falls es noch nicht klar ist, frag ruhig ;) )

                        anschaulich sind die eigenvektoren die unter einer abbildung welche durch eine matrix beschrieben wird, lediglich gestrekt oder gestaucht werden, jedoch ihre ausrichtung nicht verändern.
                        hast du z.b. eine drehmatrix, so wäre der eigenvektor der vektor (bzw. die achse) um die drehst - dieser wird nicht verändert, während alle vektoren abseits dieses vektors verändert werden.

                        ich hoffe das hat ein wenig geholfen

                        mfg

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                          #13
                          ok sehr sehr nett von dir!

                          so langsam habe ich es, eine weitere Aufgabe,


                          (0,7-$ 0,3 0,1)
                          (a-$E)=( 0,2 0,5-$ 0,4)
                          (0,1 0,2 0,5-$)

                          $1=1 $2= 0,5 $3=0,2



                          (-0,3 0,3 0,1)
                          (A-1E)=(0,2 -0,5 0,4)
                          (0,1 0,2 -0,5)


                          -0,3x +0,3y+0,1z = 0
                          0,2x - 0,5y+0,4z = 0
                          0,1x +0,2y -0,5z = 0


                          ....

                          y-14/9z=0
                          y-14/9z=0

                          beide miteinander subtrahieren.

                          0y+0z=0

                          für z=1 setzen

                          y=14/9

                          x=17/9


                          kann mir das jmd bestätigen?


                          mfg

                          Kommentar


                            #14
                            ja - kommen hin - aber tu dir selbst den gefallen und wähle z=9 => y=14 => x=17 - sind etwas schönere werte und da alle vielfachen eines eigenvektors ebenfalls eigenvektoren zum gleichen eigenwert sind wäre es auch richtig - damit hast du v=(17 14 9)

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                              #15
                              Philipp Poisel postete
                              pilli postete
                              wenn du den eigenwert schon eingerechnet hast, dann musst du nur noch den kern der matrix ausrechnen, also die vektoren für die dann gilt:
                              A * v =0 , wobei A deine Matrix ist und v dann deine Eigenvektoren

                              mfg
                              Berechnet man den Kern einer Matrix so bekommt man nur die Eigenvektoren zum Eigenwert Null, hardcoreschnitzel hat schoen erklaert wieso.

                              Dass die Matrix aus #1 den Eigenwert Null haben muss sieht man uebrigens an der Zeile, die nur aus Nullen besteht, denn jeder Vektor (0 0 z) wird dadurch auf Null abgebildet, ist also Eigenvektor zum Eigenwert Null.

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