Das ist aber nicht wirklich ein Gegenbeispiel, die Voraussetzungen des Satzes sind ja bei dir gar nicht erfüllt.
So ist z.b. a' = (1,0,0) auch orthogonal zu den b_i's, aber a' ist nicht orthogonal zu c.
Ich würde behaupten der Satz stimmt so (im endlich-dim.), auch ohne weiteren Einschränkungen an Dimension und Orthogonalität der Vektoren.
e: ein Versuch:
Sei U = und W das orthogonale Komplement von U.
v_n lässt sich dann eindeutig schreiben als v_n = u + w wobei u € U und w € W.
Nehmen wir an v_n ist keine Linearkombination der ersten n-1 Vektoren, also w != 0. Da w € W ist w orthogonal zu v_1,...,v_(n-1) und damit gilt nach Voraussetzung = 0. Andererseits aber = = + = != 0 (da w != 0) => Widerspruch, also ist v_n Linearkombination von v_1,...,v_(n-1).
So ist z.b. a' = (1,0,0) auch orthogonal zu den b_i's, aber a' ist nicht orthogonal zu c.
Ich würde behaupten der Satz stimmt so (im endlich-dim.), auch ohne weiteren Einschränkungen an Dimension und Orthogonalität der Vektoren.
e: ein Versuch:
Sei U = und W das orthogonale Komplement von U.
v_n lässt sich dann eindeutig schreiben als v_n = u + w wobei u € U und w € W.
Nehmen wir an v_n ist keine Linearkombination der ersten n-1 Vektoren, also w != 0. Da w € W ist w orthogonal zu v_1,...,v_(n-1) und damit gilt nach Voraussetzung = 0. Andererseits aber = = + = != 0 (da w != 0) => Widerspruch, also ist v_n Linearkombination von v_1,...,v_(n-1).
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