2^(k-1) = 2^k * 2^(-1) = 2^k * 1/2
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Ich verstehe nicht ganz. Sollst du die Folge der Partialsummen s_n mit den Summanden a_k, die du oben angegeben hast, auf Konvergenz überprüfen? Oder die a_k selbst?Zitat von 1965...
ich soll
(k!)^2 / (2k)!
auf konvergenz überprüfen.
...
Für Letzteres:
Ja, das Quotientenkriterium ist hier eine gute Wahl und führt zum Ziel. Du hast dich scheinbar irgendwie verrechnet. Du musst die Fakultäten einfach nur kürzen. Was soll k=3/e bedeuten? k sind doch natürliche Zahlen. Wie kommt da plötzlich die Eulersche Zahl ins Spiel?
Ich habe auf der rechten Seite mein q=1/2 gewählt und dann umgeformt, und es gilt |a_(k+1) / a_k| =0. D.h. inbesondere, für fast alle natürlichen Zahlen k erfüllen die Summanden a_k die Bedingung des Quotientenkriteriums für Konvergenz. Demnach konvergiert die Folge der Partialsummen s_n.
Tipp: Du solltest deine Umformung noch einmal ausbessern.
Außerdem: Was du da aufgeschnappt hast, ist komplett falsch. Mathematik ist sehr präzise und nicht so schwammig, eigenwillig und launisch, dass das einfach mal nicht "zählt", nichteinmal in der Numerik.
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Moin,
weiß ehrlich gesagt nicht wie ich das rechnen soll.
w = ( 146^90 * 147^147) mod 233
Mit modularen Potenzieren und schnelles Potenzieren dauert das bisschen zu lange. Hab folgendes probiert
w = (146*147^90+147) mod 233
w = (26^237) mod 233
w = (26^5) mod 233 = 7
Ist der Rechenweg legitim? Ergebniss ist trotzdem falsch.
Geht übrigens um ElGamal Verschlüsselung, prüfung von Signatur , v=90
Hoff mir kann jemand helfen Klausur steht bald an :D
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Habe schon wieder ein Problem an dem ich jetzt knabbere.
Ich will verstehen was hier steht: PDF Folie 9:
http://apps.olin.wustl.edu/faculty/zhou/GZ-RFS96.pdf
Identification. Ich verstehe das beschriebe Rotationsproblem.
Der von denen zitierte Satz sagt:
"If A is an (n X m) real matrix of rank m ( n => m ) then A
can be uniquely written as A = HT, where H is (n X m) with H'H = ln (orthogonal) and
T is m X m upper-triangular with positive diagonal elements."
Mir ist nicht ersichtlich wie dieser satz genau angewand wird.
Deren Lösung des Identifikationsproblem ist ja die Restriktion, dass Beta_k eine lower traingular matrix sein soll also, dann wäre A ja quasi die wahren loadings mal factors, dh die factors müssten der orthogonalen matrix p entsprechen (macht nach den annahmen auch sinn) das habe ich mir zusammengereimt. Aber die schreiben nirgendwo hin, dass f dann quali p ist, sondern iwas fußnote 6, was ich nicht verstehe)
Außerdem steht in dem Satz ja auch upper triangular, also da muss irgendwas
transponiert werden, ka
Hat jemand nen Plan?
€ habe gewisse zweifel, dass ichs richtig verstanden habe
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obere oder untere Dreiecksmatrix ist hier gleichwertig, man kann sie durch Multiplikation mit einer Permutationsmatrix ineinander überführen, und da wir ja im Theorem eh mit orth. matrizen multiplizieren (und das Produkt von orth. matrizen wieder eine orth. matrix ist) gibt das kein Problem. Dann so wie ich das sehe nur das Theorem genutzt und eingesetzt. (P'=P^-1 obv, deswegen ist das was zu r_it unten steht gleichwertig zu dem oben).
Habe keine Ahnung von Statistik etc. und habe ewig nichts mehr in Richtung Matrizen gemacht, hoffe also, dass ich hier keinen Müll produziere.
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Danke, bin leider etwas durch und raffe noch nicht, was für was eingesätzt wurde, was entspricht A, also der matrix, die eindeutig bestimmbar ist. Ich dachte: Beta f_{t}, aber da irritiert mich" das "beta_k P'" is a lower triangular matrix" ich glaub ich schau morgen nochmal danach, vielleicht isses ja ganz einfach
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Also dieses Theorem A9.8 wird auf beta^K angwandt, er nennt das Resultat halt auch beta^K (vmtl weil er die Drehung als nicht wirklich wichtig anerkennt und das alte ungedrehte beta^K nicht mehr braucht). Die Argumentation ist quasi, dass er auf beta^K das Theorem anwenden kann, deswegen kann man gleich annehmen, dass beta^K triagonalisiert ist.
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Mir ist die argumentation leider immer noch nicht ganz klar. Ich schreibe es nochmal kurz auf:
Es gibt das Rotationsproblem wie im Paper beschrieben PDF Folie 9:
http://apps.olin.wustl.edu/faculty/zhou/GZ-RFS96.pdf
(factoren und loadings lassen sich drehen -> gleiches Ergenis aber eben dann im model nicht eindeutig identifizierbar)
Wende daher den Satz wie oben beschrieben auf Beta_K (beliebige matrix voller rang)
Beta_K = P L wobei P eine orthgonale Matrix ist und L obere Dreiecksmatrix
P' Beta_K = L
Beta_K' P = L'
Das bedeutet ja eigentlich nur: wir können Beta_K mithilfe eines eindeutigen orthogonalen P als untere Dreiecksmatrix darstellen
daraus folgern sie dann:
"there exists a unique orthgonal matrix P such that Beta_K P' is lower triangular matrix with postitive diagonal elements"
"Therefore to identify the factor model, we assume in what follows that Beta_K is ... eine untere Dreiecksmatrix"
Wieso löst das jetzt das Identificationsproblem?
Kann ich Dreiecksmatrixen nicht auch einfach rotieren lassen gleichzeitig mit entsprechender faktorrotation?
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Was willst du denn nun genau wissen?
Ich spreche mal nur für den zweiten Teil (so wie ich ihn verstehe):
Die Ergebnisse eines Modells lassen keine eindeutigen Rückschlüsse auf die 'factors' f und 'loadings' beta zu, was nunmal ein Problem darstellt (weiter unten beispielhaft aufgeführt). Soweit so gut.
Um das Problem zu umgehen, möchte man sich nun gerne Restriktionen an die Parameter (f und beta) des Modells ausdenken/herleiten. Dazu betrachtet man, wie die Uneindeutigkeit von f und beta aus Rückschlüssen von Ergebnissen des Modells nur zusammenhängen können.
Dies führen die Autoren eben auf eine eindeutig bestimmte orthogonale Matrix P zurück, sodass beta_K P' nur positive Diagonaleinträge hat, wobei K der Rang von beta ist. Die oben gesuchte, hergeleitete Restriktion lautet demnach, was die Autoren schreiben: beta hat eine gewisse Unterstruktur, die durch beta_K in Gleichung (21) steht, und es muss beta_ii > 0 für 1
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Hey, Danke für die Antwort.
Ich verstehe die Argumentation so:
Beta_K' P = L'
Dh beta_K lässt sich mit Hilfe des Satzes als lower Triangular darstellen, "obwohl" man es mit einer bestimmten orthogonalen Matrix multipliziert (also quasi routiert). Wenn wir dann Beta_K als diese lower triangular von vorne herein annehmen, dann löst das das Indentifikationsproblem in diesem Fall, für eine bestimmte orthogonale matrix P, da sie durch rotation trotzdem noch triangular mit positiver diagonale ist.
Dafür, dass das Problem allgemein gelöst wäre, müsste man nach meiner Intuition doch für jede multiplikation mit jeder beliebigen orthogonale matrix P für ein bestimmtes beta_K aufgehen.
Sonst könnte man doch mit einer anderen orthogonalen Matrix P routieren lassen.
Ist verständlich, was ich meine?
Würde es gerne verstehen :D
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Vorweg nochmal:
Man will aus Resultaten (z.B. Messungen) Rückschlüsse auf die Parameter beta _UND_ f aus dem Modell ziehen. Hätten wir eine geeignete Restriktion an die Parameter, könnten wir beta und f eindeutig identifizieren.
Sieh dir dazu am Besten noch einmal das eindimensionale Beispiel ("one-factor model") weiter unten an. Ich finde das ganz passendes. So...
Ich habe keine Ahnung, ob ich dich verstehe. Wieso "beliebigen"? Mach mal ein Beispiel.Dafür, dass das Problem allgemein gelöst wäre, müsste man nach meiner Intuition doch für jede multiplikation mit jeder beliebigen orthogonale matrix P für ein bestimmtes beta_K aufgehen.
Also:
1) Mal angenommen du hast zwei Systeme, die dem Modell entsprechen. D.h. du hast zwei Sätze Parameter beta und f (z.B. beta1 und f1, sowie beta2 und f2). Sind diese Modelle nun äquivialent, d.h. die zugehörigen Systeme verhalten sich gleich, d.h. die Resultate sind also die selben.
Nun lautet die Frage, wie lauten die Parameter beta und f (jeweils) für diese Resultate, wenn ich das bei beiden das allgemeine Modell kenne/vorschreibe. Man würde erwarten, dass es sich um die selben Parameter handelt. Dies ist aber leider nicht der Fall, wie die Autoren schreiben (siehe Beispiel).
Das ist das Identifikationsproblem (dieses Modells).
Das hast du verstanden?
2) Jetzt machen sich die Autoren Gedanken, wie man das Problem löst. Die Idee ist eigentlich, dass man die zulässigen Parameter so restringiert, dass von vornherein keine äquivalenten System in dem Modell zulässt.
Verstanden?
3) Wie muss man also die Parameter einschränken? Diese Frage beantworten die Autoren, indem sie aufzeigen, wie äquivalente Systeme des Modells mathematisch zusammenhängen, und nur zusammenhängen können (d.h. nicht auf eine andere Art und Weise zusammenhängen als diese eine). Sie führen den Zusammenhang äquivalenter Systeme (im Wesentlichen) auf eine eindeutig bestimmte orthogonale Matrix P zurück, die die Parameter in eine nette, strukturierte Form transformiert (beta_K untere Dreiecksmatrix mit ausschließlich positiven Diagonaleinträgen).
Soweit okay?
4) Geometrisch stehen orthogonale Matrizen für Rotationen oder Spiegelungen. Dies sollte im Kontext der Anwendung des Modells Sinn ergeben, z.B. wegen offensichtlicher Translationsinvarianzen oder so.
5) Was heißt das nun? Sind Systeme des Modells äquivalent, so gibt es ein eindeutig bestimmtes äquivalentes System dieser bestimmten Form (beta_K untere Dreiecksmatrix mit ausschließlich positiven Diagonaleinträgen).
Also werden nur Systeme mit Parametern jener Form betrachtet, was ja auch im Kontext der Anwendung geometrisch sinnvoll erscheinen sollte.
Um zu 1) zurückzukehren: Für beta1, f1 gibt es ein P1, für beta2, f2 gibt es ein P2. Daraus resultieren beta1*, f1*, sowie beta2*, f2*. Diese sind jeweils äquivalent zu beta1, f1, bzw. beta2, f2. Inbesondere sind beta1*, f1* und beta2*, f2* äquivalent. Überdies sind letztere sogar gleich, aufgrund ihrer Form. Das Identifikationsproblem ist gelöst!
Beantwortet das deine Frage(n)? Geht es dir um den Beweis der Autoren an sich?
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