[quote=hannes]Ich hoffe, dass mein Kommentar nicht zu spät kommt.
@MahagoniBaumHolz
Halbnormen bzw. Seminormen sind keine Normen. Sie besitzen alle Eigenschaften einer Norm, bis auf die in Frage 1 angesprochene, d.h.
X=0 ||X||_a=0
ist nicht für jedes X erfüllt.
Für die 2. Frage: Das ist ein Standardansatz in der Maßtheorie. Genauer wechselt man den Raum zum Quotientenraum mittels besagter Äquivalenzrelation, und definiert dann eine Norm auf dem Faktorraum mittels der Halbnorm ihrer Repräsentanten. Die Wohldefiniertheit dieser Norm beruht auf der Äquivalenzrelation.
In obigem Fall bedeutet das:
X~Y P(X=Y)=1 X=Y P-f.s. X=Y P-f.ü. ||X-Y||_a=0.
Ist X also eine Zufallsvariable und [X] die Äquivalenzklasse von X, so definiere
|||[X]|||_a:=||X||_a.
Angenommen Y wäre ein weiterer Representant von [X], d.h. X~Y. Es gilt:
||X||_a=||X-Y+Y||_a
@MahagoniBaumHolz
Halbnormen bzw. Seminormen sind keine Normen. Sie besitzen alle Eigenschaften einer Norm, bis auf die in Frage 1 angesprochene, d.h.
X=0 ||X||_a=0
ist nicht für jedes X erfüllt.
Für die 2. Frage: Das ist ein Standardansatz in der Maßtheorie. Genauer wechselt man den Raum zum Quotientenraum mittels besagter Äquivalenzrelation, und definiert dann eine Norm auf dem Faktorraum mittels der Halbnorm ihrer Repräsentanten. Die Wohldefiniertheit dieser Norm beruht auf der Äquivalenzrelation.
In obigem Fall bedeutet das:
X~Y P(X=Y)=1 X=Y P-f.s. X=Y P-f.ü. ||X-Y||_a=0.
Ist X also eine Zufallsvariable und [X] die Äquivalenzklasse von X, so definiere
|||[X]|||_a:=||X||_a.
Angenommen Y wäre ein weiterer Representant von [X], d.h. X~Y. Es gilt:
||X||_a=||X-Y+Y||_a

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