Also in deiner ersten Editierung hast du beides mal die Inklusion Â' C sigma(Â U {B}) gezeigt.
Der Zweite Ansatz erscheint mir nicht zielführend. Außerdem ist mir der Teil
etwas suspekt.
Deinem letzten Ansatz kann ich auch nicht folgen. Warum D U B? Mach doch eine Fallunterscheidung für D in  oder D=B. Jetzt fixierst du schon ein A und suchst dann nach dem anderen A'. Diese Wahlfreiheit hast du möglicherweise gar nicht.
Mach es einfach so, wie hrdcrschntzl es beschrieben hat:
Â' C sigma(Â U {B}) hast du ja schon gezeigt. Das ist im Prinzip die Definition vom sigma-Operator.
Umgekehrt zeigst du für sigma( U {B}) C Â' zunächst  U {B} C Â' (Fallunterscheidung: D in  oder D=B). Dann hast du erstmal sigma( U {B}) C sigma(Â') (möglicherweise hast du dazu schon ein Lemma?). Jetzt zeigst du noch, dass Â' selbst eine Sigma-Algebra ist, womit sigma(Â') = Â', also sigma( U {B}) C Â' gilt.
Nun folgt die Behauptung.
Der Zweite Ansatz erscheint mir nicht zielführend. Außerdem ist mir der Teil
d.h. x nicht € A und B UND x nicht € A' und B^c
d.h. x nicht € B und B^c
d.h. x nicht € B und B^c
Deinem letzten Ansatz kann ich auch nicht folgen. Warum D U B? Mach doch eine Fallunterscheidung für D in  oder D=B. Jetzt fixierst du schon ein A und suchst dann nach dem anderen A'. Diese Wahlfreiheit hast du möglicherweise gar nicht.
Mach es einfach so, wie hrdcrschntzl es beschrieben hat:
Â' C sigma(Â U {B}) hast du ja schon gezeigt. Das ist im Prinzip die Definition vom sigma-Operator.
Umgekehrt zeigst du für sigma( U {B}) C Â' zunächst  U {B} C Â' (Fallunterscheidung: D in  oder D=B). Dann hast du erstmal sigma( U {B}) C sigma(Â') (möglicherweise hast du dazu schon ein Lemma?). Jetzt zeigst du noch, dass Â' selbst eine Sigma-Algebra ist, womit sigma(Â') = Â', also sigma( U {B}) C Â' gilt.
Nun folgt die Behauptung.

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