Ja, der Grenzwert ist 1.
Ich kann deiner Ausführung aber nicht ganz folgen. Mir scheint so, als hättest du die Grenzprozesse nacheinander ausgeführt. Das führt im Allgemeinen aber nicht zum korrekten Ergebnis (hier schon; ein verführerisches Beispiel also; genau das macht das Beispiel so interessant).
Dein Ansatz ist im Prinzip der selbe wie meiner, denn:
(1-n^-3)^n=exp(ln(1-n^-3))^n=exp(n*ln(1-n^-3)),
und nach Anwendung der Grenzwertsätze/-rechenregel und der Regel von L'Hôpital erhält man das Ergebnis.
/edit: Die obere Umformung gilt natürlich nur für n>1 oder n
Ich kann deiner Ausführung aber nicht ganz folgen. Mir scheint so, als hättest du die Grenzprozesse nacheinander ausgeführt. Das führt im Allgemeinen aber nicht zum korrekten Ergebnis (hier schon; ein verführerisches Beispiel also; genau das macht das Beispiel so interessant).
Dein Ansatz ist im Prinzip der selbe wie meiner, denn:
(1-n^-3)^n=exp(ln(1-n^-3))^n=exp(n*ln(1-n^-3)),
und nach Anwendung der Grenzwertsätze/-rechenregel und der Regel von L'Hôpital erhält man das Ergebnis.
/edit: Die obere Umformung gilt natürlich nur für n>1 oder n

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