Kurze Korrektur: Man muss natürlich ggT(mz,nz)=ggT(m,n)*|z| für m,n,z in Z zeigen.
"" ist komplizierter und kann über die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung (Darf dieser Fakt für einen Beweis verwendet werden?) gezeigt werden.
Mir ist aber gerade aufgefallen, dass es viel einfacher geht, wenn man sich den (modernen) euklidischen Algorithmus anschaut. Angewendet auf (mz,nz) kann man in jedem Schritt durch z dividieren, was äquivalent zur Anwendung auf (m,n) ist, wobei dann noch am Ende der Faktor z fehlt (kann wieder hinzumultipliziert werden). Sollte man vielleicht noch etwas formaler aufschreiben.
"" ist komplizierter und kann über die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung (Darf dieser Fakt für einen Beweis verwendet werden?) gezeigt werden.
Mir ist aber gerade aufgefallen, dass es viel einfacher geht, wenn man sich den (modernen) euklidischen Algorithmus anschaut. Angewendet auf (mz,nz) kann man in jedem Schritt durch z dividieren, was äquivalent zur Anwendung auf (m,n) ist, wobei dann noch am Ende der Faktor z fehlt (kann wieder hinzumultipliziert werden). Sollte man vielleicht noch etwas formaler aufschreiben.

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