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    Im selben Wikipedia-Artikel steht doch nach der Definition, dass diese eine eindeutige Determinantenform beschreibt.

    Die Leibnizformel resultiert also direkt und eindeutig aus dieser Definition. Der Beweis, dass sie korrekt ist, ist mittels dieser Definition jedenfalls trivial. Sie erfüllt die Multi-Linearität, die Alternationseigenschaft und die Normiertheit.

    Gefunden hat sie Leibniz wahrscheinlich nicht über die erst viel später bekannte Weierstraßsche, axiomatische Definition (Welche Definition wurde wohl damals verwendet?). Damals hat man die Determinante meines Wissens nach, noch direkt über die eindeutige Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme charaktierisiert. Scheinbar hat er diese Formel für kleine Systeme mit ein Bisschen Intuition entwickelt, und sie anschließend für größere Systeme verallgemeinert und bewiesen. Dafür müsste man sich dann aber am besten die Originale reinziehen.

    /edit: Grammatik

    Kommentar


      Beweisen lässt sich die Formel auch mit vollständiger Induktion über die Dimension der Matrix und der Laplace-Entwicklung, vielleicht hilft dir das ja.

      Kommentar


        Bestimmen Sie für alle n, x € N

        ggT(2^n - 1, 3)

        Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus.

        Wie soll das damit funktionieren :/?

        Edit:

        Ne andere Teilaufgabe ggT(n, 2n-1) hatte ich so gelöst:
        2n-1 = 1*n + n-1
        ggT(n, 2n-1) = ggT(n, n-1) = 1

        Bei dem Obigen bin ich mir aber schon unsicher was Divdend oder Divisor darstellt.

        Kommentar


          Was ist x?

          Bei der unteren Teilaufgabe: Warum nicht einfach a=n, k=2, r=-1 und b=kn+r und ggT(a,b)=ggT(a,r) wie bei deinem letzten Beitrag. Also: ggT(n,2n-1)=ggT(n,-1)=ggT(n,1)=1

          Ich vermute, man soll sich Gedanken machen, wie ggT(2^n-1,3) für kleine n aussieht und dann eine mutige Prognose aufstellen, die man per vollständiger Induktion und euklidischem Algorithmus beweist.

          Muss jetzt los.

          Kommentar


            Zitat von hannes
            Was ist x?

            Bei der unteren Teilaufgabe: Warum nicht einfach a=n, k=2, r=-1 und b=kn+r und ggT(a,b)=ggT(a,r) wie bei deinem letzten Beitrag. Also: ggT(n,2n-1)=ggT(n,-1)=ggT(n,1)=1

            Ich vermute, man soll sich Gedanken machen, wie ggT(2^n-1,3) für kleine n aussieht und dann eine mutige Prognose aufstellen, die man per vollständiger Induktion und euklidischem Algorithmus beweist.

            Muss jetzt los.
            Sorry, das x ist für ne andere Teilaufgabe, also nicht weiter beachten ;).

            Untere Teilaufgabe: Ah, stimmt der Rest darf ja auch negativ sein?! Hatte ich gar nicht dran gedacht.

            Obere Teilaufgabe: Es steht als Lösung {1 für n ungerade ^ 3 für n gerade}

            Diese Vermutung könnte man ja mit Vollständiger Induktion lösen mit Fallunterscheidung?!

            1. 2^(n) - 1 = 1 für alle n € N
            2. 2^(2n) - 1 = 3 für alle n € N

            Das würd auch funktionieren (gerade mal auf dem Zettel ausprobiert)

            Aber wie bringe ich da jetzt noch den Euklid rein?

            Kommentar


              Ja, alle beteiligten Zahlen a,b,k,r der Rechenregel des ggT können beliebige ganze Zahlen sein.

              Ich würde einen Beweis so beginnen:

              Induktionsanfang:
              n=1: ggT(2^n-1,3) = ggT(1,3) = 1 (= 2 + (-1)^n)
              n=2: ggT(2^n-1,3) = ggT(3,3) = 3 (= 2 + (-1)^n)
              Induktionsschritt:
              Induktionsvoraussetzung: ggT(2^n-1,3) = 2 + (-1)^n gelte für n in N.
              Induktionsbehauptung: ... dann gilt auch ggT(2^(n+2)-1,3) = 2 + (-1)^(n+2).
              Es ist 2^(n+2)-1>=7, d.h. nach euklidischem Algorithmus, obiger Rechenregel und der Induktionsvoraussetzung gilt:
              ggT(2^(n+2)-1,3)
              = ggT(2^(n+2)-1-3,3)
              = ggT((2^n-1)*4,3)
              = ggT((2^n-1)*3+(2^n-1),3)
              = ggT(2^n-1,3)
              = 2 + (-1)^n
              = 2 + (-1)^(n+2).

              /edit: kleinen Fehler entdeckt

              Kommentar


                2^n = (3-1)^n = n-te Potenz von einem Binom, so dass in der Summen-Entwicklung ganz viele 3en vorkommen. Dann Euklid.

                Kommentar


                  Zitat von hannes
                  Ja, alle beteiligten Zahlen a,b,k,r der Rechenregel des ggT können beliebige ganze Zahlen sein.

                  Ich würde einen Beweis so beginnen:

                  Induktionsanfang:
                  n=1: ggT(2^n-1,3) = ggT(1,3) = 1 (= 2 + (-1)^n)
                  n=2: ggT(2^n-1,3) = ggT(3,3) = 3 (= 2 + (-1)^n)
                  Induktionsschritt:
                  Induktionsvoraussetzung: ggT(2^n-1,3) = 2 + (-1)^n gelte für n in N.
                  Induktionsbehauptung: ... dann gilt auch ggT(2^(n+2)-1,3) = 2 + (-1)^(n+2).
                  Es ist 2^(n+2)-1>=7, d.h. nach euklidischem Algorithmus, obiger Rechenregel und der Induktionsvoraussetzung gilt:
                  ggT(2^(n+2)-1,3)
                  = ggT(2^(n+2)-1-3,3)
                  = ggT((2^n-1)*4,3)
                  = ggT((2^n-1)*3+(2^n-1),3)
                  = ggT(2^n-1,3)
                  = 2 + (-1)^n
                  = 2 + (-1)^(n+2).

                  /edit: kleinen Fehler entdeckt
                  wie bist du auf "2 + (-1)^n" gekommen?

                  Kommentar


                    Das ist nicht weiter wichtig, wenn du im Induktionsbeweis nochmal die Fallunterscheidung mit gerade und ungerade machst. Nur am Ende steht dann halt 1 bzw. 3. Die Umformungen bleiben die selben.

                    Auf "2 + (-1)^n" bin ich gekommen, weil ich eine einfache, explizite Forme für die Folge (c_n) mit c_1=1,c_2=3
                    und c_n+2=c_n für jedes n in N gesucht habe, um damit die Fallunterscheidung im Induktionsschritt vermeiden zu können. Dafür habe ich die alternierende Folge a_n=(-1)^n genommen und verschoben. Kein Trick dabei oder so.

                    Kommentar


                      (1-x)^99*(1-x+100x)=1/2

                      Wie löst man das nach x auf ?

                      Kommentar


                        Ich habe angenommen, dass das Produkt nicht im Exponenten steht. Ist das korrekt?

                        Im Allgemeinen ist die analytische Bestimmung der Nullstellen von Polynomen vom Grad größer als 4 nicht möglich. Reichen dir auch Näherungslösungen?

                        Wenn man f(x)=(1-x)^99*(1-x+100x) für x in IR definiert, so kann man mit simpler Kurvendiskussion von f schlussfolgern, dass es genau 2 reelle Lösungen x mit f(x)=1/2 gibt. Davon liegt eine in (-1/99;0) und die andere in (0;1).
                        Das hast du wahrscheinlich selbst schon gemacht.

                        Näherungslösungen x von f(1-x)=1/2 siehst du hier.

                        Übrigens: Inwelchem Zusammenhang kommt man auf solche Gleichungen?

                        Kommentar


                          Zitat von hannes
                          Ich habe angenommen, dass das Produkt nicht im Exponenten steht. Ist das korrekt?

                          Im Allgemeinen ist die analytische Bestimmung der Nullstellen von Polynomen vom Grad größer als 4 nicht möglich. Reichen dir auch Näherungslösungen?

                          Wenn man f(x)=(1-x)^99*(1-x+100x) für x in IR definiert, so kann man mit simpler Kurvendiskussion von f schlussfolgern, dass es genau 2 reelle Lösungen x mit f(x)=1/2 gibt. Davon liegt eine in (-1/99;0) und die andere in (0;1).
                          Das hast du wahrscheinlich selbst schon gemacht.

                          Näherungslösungen x von f(1-x)=1/2 siehst du hier.

                          Übrigens: Inwelchem Zusammenhang kommt man auf solche Gleichungen?
                          Danke für deine Mühe ! Es geht um den Ausfallanteil von hardware Komponenten bei einem Lebensdauerexperiment

                          Kommentar


                            Zitat von rcon kick
                            Zu zeigen ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a,b),c)

                            Hab mir da mal die Definition geschnappt:

                            ggT(a,b,c) = max {z € Z\{0} | z|a ^ z|b ^ z|c }
                            = max {z € Z\{0} | z|c ^ z|ggT(a,b) }
                            = ggT(ggT(a,b), c)

                            Ist das so gezeigt? Ich vermute nicht.
                            Dass was da steht ist korrekt, aber ich würde es nicht als Beweis durchgehen lassen. Du musst den Schritt schon ordentlich begründen können, sprich insgesamt kleinschrittiger vorgehen.

                            Ich hätte es über die Mengen der Teiler beweisen. Das ist aber Geschmacksache und solltest nur du entscheiden. Ich persönlich finde es so jedenfalls einfacher.

                            "": Teilt z a und b, so exisiteren m,n in Z mit a=mz und b=nz. Dann gilt ggT(a,b)=ggT(mz,nz)=ggT(m,n)z (Warum?). Also teilt z ggT(a,b) und wir haben ein Kleiner-Gleich-Zeichen zwischen 1. und 2. Zeile.

                            /edit: Wo ist dein Posting hin?

                            Kommentar


                              Zitat von hannes
                              Zitat von rcon kick
                              Zu zeigen ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a,b),c)

                              Hab mir da mal die Definition geschnappt:

                              ggT(a,b,c) = max {z € Z\{0} | z|a ^ z|b ^ z|c }
                              = max {z € Z\{0} | z|c ^ z|ggT(a,b) }
                              = ggT(ggT(a,b), c)

                              Ist das so gezeigt? Ich vermute nicht.
                              Dass was da steht ist korrekt, aber ich würde es nicht als Beweis durchgehen lassen. Du musst den Schritt schon ordentlich begründen können, sprich insgesamt kleinschrittiger vorgehen.

                              Ich hätte es über die Mengen der Teiler beweisen. Das ist aber Geschmacksache und solltest nur du entscheiden. Ich persönlich finde es so jedenfalls einfacher.

                              "": Teilt z a und b, so exisiteren m,n in Z mit a=mz und b=nz. Dann gilt ggT(a,b)=ggT(mz,nz)=ggT(m,n)z (Warum?). Also teilt z ggT(a,b) und wir haben ein Kleiner-Gleich-Zeichen zwischen 1. und 2. Zeile.

                              /edit: Wo ist dein Posting hin?
                              Sorry hatte den beitrag gelöscht weil ich ne lösung zu der aufgabe auf youtube gefunden habe (noch bevor du gepostet hast). der löst das ganze über die darstellung der primfaktorzerlegung. werde deinen lösungsansatz auch nochmal ausprobieren.

                              Kommentar


                                Zitat von hannes
                                Zitat von rcon kick
                                Zu zeigen ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a,b),c)

                                Hab mir da mal die Definition geschnappt:

                                ggT(a,b,c) = max {z € Z\{0} | z|a ^ z|b ^ z|c }
                                = max {z € Z\{0} | z|c ^ z|ggT(a,b) }
                                = ggT(ggT(a,b), c)

                                Ist das so gezeigt? Ich vermute nicht.
                                Dass was da steht ist korrekt, aber ich würde es nicht als Beweis durchgehen lassen. Du musst den Schritt schon ordentlich begründen können, sprich insgesamt kleinschrittiger vorgehen.

                                Ich hätte es über die Mengen der Teiler beweisen. Das ist aber Geschmacksache und solltest nur du entscheiden. Ich persönlich finde es so jedenfalls einfacher.

                                "": Teilt z a und b, so exisiteren m,n in Z mit a=mz und b=nz. Dann gilt ggT(a,b)=ggT(mz,nz)=ggT(m,n)z (Warum?). Also teilt z ggT(a,b) und wir haben ein Kleiner-Gleich-Zeichen zwischen 1. und 2. Zeile.

                                /edit: Wo ist dein Posting hin?
                                Ok den ersten Teil "" macht noch Probleme:
                                Wie bekomme ich ggT(a,b)=ggT(mz,nz)=ggT(m,n)z gezeigt?

                                Es gilt ja wieder max{x € Z\{0} | x|mz ^ x|nz } = z * max{y € Z\{0} | y|m ^ y|n}

                                Für die Richtung "

                                Kommentar

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