Ankündigung

Einklappen
Keine Ankündigung bisher.

User helfen Usern - Mathe

Einklappen
X
 
  • Filter
  • Zeit
  • Anzeigen
Alles löschen
neue Beiträge

    eingang: x(t), ausgang y(t)
    y(t)=f(x(t))

    1) y(t)= integral (0 bis t) [ x(t-u) {c(u)}^2 du ]
    2) y(t) = x(t) cos(wt) ; w=const

    edit: was die beiden sachen heißen, weiß ich ja. aber ich weiß nicht wie ich es prüfe

    Kommentar


      Zur Kausalität:

      Ein System ist kausal, wenn das Ausgangssignal zur zeit t nur von Eingangssignalwerten abhängt, die 1 wäre es ? ... Nicht Kausal.

      Kommentar


        Beispiel zur Linearität:
        Bei der gleichen Beschreibung (x eingang, y ausgang) mit dem System
        y(t)=a ; a reell
        wäre dieses nach Fallunterscheidung für a!=0 nichtlinear weil die Superposition verletzt ist.
        Richtig?

        Kommentar


          Richtig.

          c,d relle Zahlen und x_1 und x_2 zwei verschiedene inputs in das system. T die Transformation im System (also T(x) = a). Dann gilt ja

          T( c*x_1 + d*x_2) = a

          und

          c*T( x_1) + d*T( x_2) = c*a + d*a

          Und die sind eben nur gleich, wenn a = 0.

          ---

          Übrigens noch rausgefunden:

          Wenn h(t) die Impulsantwort ist, dann ist es notwendig und hinreichend für die Kausalität zu zeigen, dass h(t) = 0 für t < 0.

          Kommentar


            Diese Form der Überprüfung kenne ich, komme damit aber noch nicht klar. ICh habe Homogenität/Superposition immer einzeln geprüft.
            Zum Beispiel, wie Du genannt hattest, y(t)=x(at) ; a const, reell.

            Mein Lösungsvorschlag dazu sieht halt dann nach "meiner Methode" so aus:
            x_1 (t) -> y_1(t) = x_1(at)
            x_2(t) -> y_2(t) = x_2(at)

            x_3(t) = x_1(t) + x_2(t) -> y_3(t) = x_3(at) =x_1(at)+x_2(at) soll = y_1(t) + y_2(t)



            x_4(t) = b x_1(t) -> y_4(t) = x_4(at) = b x_1(t) soll = b y_1(at)


            Dann Fallunterscheidung nach a

            Kommentar


              Geht auch so. Musst natürlich das "soll =" noch hinschreiben, also überprüfen (oder besser gesagt einsetzen, mehr is das ja nicht mehr). Das was ich hingeschrieben hab vereint nur die beiden Sachen in eine Überprüfung. Mit deiner Schreibweise:

              y(t) = x(at) ; a const, reell. c,d reell:

              x_1 (t) -> y_1(t) = x_1(at)
              x_2 (t) -> y_2(t) = x_2(at)

              x_3(t) = c*x_1(t) + d*x_2(t)
              -> y_3(t) = x_3(at) = c*x_1(at) + d*x_2(at)

              Damit linear ist zu überprüfen: y_3(t) = c*y_1(t) + d*y_2(t) ?

              y_3(t)
              = c*x_1(at) + d*x_2(at)
              = c*y_1(t) + d*y_2(t)

              Damit ist das System also linear.

              EDIT: Zur Fallunterscheidung: Hier brauchst du keine machen, die Gleichungen die hier aufgestellt wurden, gelten ja für alle a. Jetzt könnte man sich ja fragen, warum a=0 geht.. weil dann könnte man y(t) = x(0) = k schreiben und das wäre konstant. Und da haben wir ja eben gezeigt, dass das nicht linear ist.
              Man muss sich aber an die Abbildungs-Vorschrift halten. Während y(t) = a ; a const bereits im Vorhinein festlegt welches konstante Signal ausgegeben wird, hängt y(t) = x(0) davon ab, was für ein Signal x(0) bei t=0 reinkommt.

              Kommentar


                Nochmal zur Fallunterscheidung: Genau wg der möglichen Konstante hätte ich eine gemacht, Danke für die Korrektur.
                Ich würde gerne noch darum bitten meine Lösung vollständig zu besprechen. Um Hinweise zur Schreibweise usw. bitte ich auch, muss auch nur der Ingenieursmathe genügen.
                Die Aufgabe umfasst die Überprüfung auf Linearität und Zeitvarianz und die Ermittelung der Impulsantwort bzw. des Kerns bei Linearität. Bei 3) komme ich nicht drauf, ansich müssten es doch 2 Faltungen sein wegen der zwei Verzögerungen. Wie berechnet man das explizit?

                Spoiler: 







                edit: bilder gespoilert

                Kommentar


                  Es hat sich leider keiner mehr gemeldet. Ich habe zu der immernoch stehenden Aufgabe noch eine weitere Frage:

                  y(t) = integral { 0 bis t } [ x(t-u) ( c(u) )^2 du
                  ist linear zeitvariant mit kern

                  k(t,u)= {
                  [c(t-u)]^2 für 0

                  Kommentar


                    Setz mal c(u) = 1 und x(t) = 1 und dann kannste das integral ja sogar ausrechnen und da müsstest du das dann auch sehen mit dem zeitvariant.

                    zeitinvariant bedeutet, dass t als Variable von y nur in x(..) vorkommen darf - salopp gesprochen.

                    y(t) = t*x(t) ist zeitvariant, weil t ausserhalb von x vorkommt.
                    y(t) = x( t/3 ) ist zeitinvariant, weil t nur innerhalb von x vorkommt.

                    beim integral sieht man das natürlich nicht sofort, aber wie gesagt, setz das oben mal ein, dann siehst du das auch.

                    sorry, dass ich mich auf den anderen post nich mehr gemeldet hab. wollte das mal angehen aber war mir einfach zu viel, weil ich auch viel zu tun hab im moment. ich muss mich da auch erst reinarbeiten. wenn du hilfe zum kern willst, dann kurze erläuterung, beispiel oder definition dazu bitte.

                    Kommentar


                      Ok, das stimmt, das sehe ich. Die Musterlösung zeigt keine Herleitung.
                      Wegen der anderen Aufgaben ist es kein Problem, die rechnet der Prof auch nochmal vor, ich wollte mich nur vorbereiten.

                      Kern k(t;u) ist ja derart, dass ich y(t) als Faltung von x(t) und k(t;u) darstellen kann, im Fall von LTI ist der Kern eben ausschließlich nur von (t-u) abhängig, im Fall von linear zeitvarianten Systemen nicht.

                      Die Darstellung ist also folgende:

                      Zeitvariant:

                      y(t) = integral (überR) [ k(t;u) x(u) du ] mit k(t;u) als "Kern"

                      Zeitinvariant:

                      y(t)= integral (überR) [ k(t-u) x(u) du ] = integral (über R) [ c(v) x(t-v) dv ] mit c(v) als Impulsantwort (für Eingang x(t)=dirac(t) ) und v=t-u

                      Soo...und ich soll den Kern angeben, also die Darstellung für k(t;u) herausfinden:

                      integral [0 bis t] [ x(t-u) (c(u)^2) du = integral [überR] [ k(t;u) x(u) du ]

                      und k(t;u) steht ja oben.

                      Kommentar


                        Wir fangen einfach mal auf der rechten Seite an. Also setzen wir erstmal k_test(t;u) = c(u)^2 * 1_{[0,t]}(u)

                        Das Letzte soll die Indikatorfunktion sein, die 1 ist, wenn u in [0,t] liegt und 0 sonst. Dann hätten wir ja schon fast das Richtige:

                        Integral über R von c(u)^2 * 1_{[0,t]}(u) * x(u) du
                        bzw (wenn wir die Indikatorfunktion in die Grenzen schieben)
                        Integral von 0 bis t von c(u)^2 * x(u) du

                        Nun soll da ja aber x(t-u) stehen. Um eine Faltungseigenschaft ausnutzen, setze ich nun erstmal folgendes (Sinn siehst du dann gleich): k_test2(t;u) = c(t-u)^2 * 1_{[0,t]}(t-u)

                        Dann ist die Faltung von k_test2 und x gerade

                        Integral über R von c(t-u)^2 * 1_{[0,t]}(t-u) * x(u) du

                        Eine Faltungseigenschaft besagt nun: f * g = g * f. Damit ist das Integral also gleich

                        Integral über R von c(u)^2 * 1_{[0,t]}(u) * x(t-u) du.

                        Damit ist k_test2 also der gesuchte Kern. Das stimmt auch mit dem ersten Teil deiner Lösung von k(t,x) überein. Den zweiten Teil mit dem - verstehe ich allerdings nicht. Aber da du ja schon deutlich mehr in der Materie bist, siehst du vielleicht selber warum das so ist.


                        Edit: Ich vermute mal, dass das irgendwas mit der Faltung zu tun hat, sehs aber gerade nicht. Werd vllt morgen nochmal drauf schaun.

                        Kommentar


                          Hallo Jan,
                          Danke für die Erklärung. Die Indikatorfunktion kannte ich noch nicht, habe bis jetzt nur das Kroneckerdelta benutzt aber das ist ja ähnlich. Das lässt mich schonmal auf den Integrationsbereich von R nach [0,t] kommen. Wegen des Lösungsbereiches melde ich mich morgen nochmal.
                          Viele Grüße

                          Kommentar


                            Hey, nochmal als Nachtrag.
                            Die Fallunterscheidung für t grpßer/kleiner 0 mit dem Minus kommt wegen der Integralgrenzen. Für t

                            Kommentar


                              Ahh ja macht Sinn. Ich bin im Kopf immer von t >= 0 ausgegangen, aber ein negatives t ist natürlich nicht ausgeschlossen in vielen Fällen. Alles klar! Dann biste ja selber drauf gekommen, sehr schön :)

                              Kommentar


                                Hey, ich habe eine Matrix sigma mit verschiedenen Werten darin (identity, continuous states, discrete states (modes), etc.). Nun geht es darum, diese Matrix akuell zu halten und ich hab dafür eine Formel (bzw. auch mehrere, aber im Endeffekt funktionieren die dann alle ähnlich):

                                sigma_t_k1 = f(sigma_t-1_k1, sigma_t_k2, €_t)

                                Also eine Matrix k1 zum Zeitpunkt t soll so upgedatet werden, indem man in der Funktion die Matrix k1 zum Zeitpunkt t-1 nimmt, die Matrix k2 zum Zeitpunkt t2 und noch ein Error zum Zeitpunkt t.

                                Ich versteh da nicht so ganz, wie da jetzt die Funktion funktioniert, so dass die Matrix k1 zum Zeitpunkt t upgedatet wird. Der alte Status der Matrix ist klar, dazu kommt dann ein aktueller Status einer anderen Matrix + ein Fehlerkoeffizient.

                                Hoffe mal, dass da einer von euch was damit anfangen kann.

                                Kommentar

                                Lädt...
                                X