hmm ja das scheinst du schon richtig verstanden zu haben. im übrigen betrachten wir nur einen anfangswert x_0.
ok hier ein kleines einfaches zahlenbeispiel zum verdeutlichen der äquivalenz:
y''' = y'' + 2y' (I)
y(x_0) = y_0
y'(x_0) = y'_0
y''(x_0) = y''_0
jetzt definierst du deinen vektor v = (v1 v2 v3)^T mit den bedingungen
v1' = v2
v2' = v3
v3' = v3 + 2v2
es ergibt sich also v' = A*v (II), mit der koeffizientenmatrix A, die folgendermaßen aussieht:
010
001
021
mit der startbedingung v(x_0) = (y_0 y'_0 y''_0)^T = (!!!!!!!!!) = (v1(x_0) v2(x_0) v3(x_0))^T.
wir lösen (I) mit dem ansatz e^a*t und erhalten als nullstellen des char. pol. a = 0, -1 und 2. also stellen wir unsere lösung f(x) = c1*e^(-t) + c2 + c3*e^2t auf.
f'(x) = -c1*^(-t) ...
f''(x) = ...
alles wie gehabt, sollte ja bekannt sein. (?) nun sind diese 3 funktionen gleichzeitig die lösung des zu (II) gehörigen anfangswertproblems. ich hoffe das machts etwas deutlicher als mein vorheriger post.
__________________________________________________ ___________
da ich gerade lese, dass es sich um numerik handelt, hier ein beispiel zur anwendung zum finden numerischer lösungen:
wir betrachten das pendel mit pendellänge l mit der differentialgleichung
t'' + g/l * sin(t) = 0.
in der regel wird die kleinwinkelnäherung t ~ sin(t) verwendet um die lösung für kleine auslenkungen zu bestimmen.
man kann jedoch auch folgendes system betrachten:
y1' = y2
y2' = -g/l * sin(t)
dieses lässt sich - beispielsweise mit runge-kutta (oder euler-polygonzug?) - numerische lösen. leider fällt mir gerade auf, dass ich das nicht (mehr) kann. ;)
Spoiler:
ok hier ein kleines einfaches zahlenbeispiel zum verdeutlichen der äquivalenz:
y''' = y'' + 2y' (I)
y(x_0) = y_0
y'(x_0) = y'_0
y''(x_0) = y''_0
jetzt definierst du deinen vektor v = (v1 v2 v3)^T mit den bedingungen
v1' = v2
v2' = v3
v3' = v3 + 2v2
es ergibt sich also v' = A*v (II), mit der koeffizientenmatrix A, die folgendermaßen aussieht:
010
001
021
mit der startbedingung v(x_0) = (y_0 y'_0 y''_0)^T = (!!!!!!!!!) = (v1(x_0) v2(x_0) v3(x_0))^T.
wir lösen (I) mit dem ansatz e^a*t und erhalten als nullstellen des char. pol. a = 0, -1 und 2. also stellen wir unsere lösung f(x) = c1*e^(-t) + c2 + c3*e^2t auf.
f'(x) = -c1*^(-t) ...
f''(x) = ...
alles wie gehabt, sollte ja bekannt sein. (?) nun sind diese 3 funktionen gleichzeitig die lösung des zu (II) gehörigen anfangswertproblems. ich hoffe das machts etwas deutlicher als mein vorheriger post.
Spoiler:
__________________________________________________ ___________
da ich gerade lese, dass es sich um numerik handelt, hier ein beispiel zur anwendung zum finden numerischer lösungen:
wir betrachten das pendel mit pendellänge l mit der differentialgleichung
t'' + g/l * sin(t) = 0.
in der regel wird die kleinwinkelnäherung t ~ sin(t) verwendet um die lösung für kleine auslenkungen zu bestimmen.
man kann jedoch auch folgendes system betrachten:
y1' = y2
y2' = -g/l * sin(t)
dieses lässt sich - beispielsweise mit runge-kutta (oder euler-polygonzug?) - numerische lösen. leider fällt mir gerade auf, dass ich das nicht (mehr) kann. ;)
Kommentar