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Ich soll mithilfe der Lagrange-Methode das Minimum von 2x²-5y²+25 unter der Nebenbedingung 8x+20y+120 bestimmen.
In meinem Gleichungssystem habe ich dann 4x + 8lambda = 0; -10y +20lambda = 0 und 8x+20y+120 = 0
Als Werte kriege ich dann x= 10; y=-10 und lambda = -5.
Mein Kandidat fürs Minimum ist ja jetzt (-5;10;-10) oder? Wenn ich nun die Determinante der Hessematrix berechne, komme ich auf -40.
Heißt das, dass bei (10;-10) ein Sattelpunkt ist oder ist das die Bewertung der Determinate bei der Lagrange-Methode eine andere?
e/ Was ist hier falsch? Meine Lösung kann nicht richtig sein...
Wenn man die Hessematrix H_L bildet so wie im wikipedia-Artikel die bounded Hessian,
dann gilt:
det(H_L) < 0 -> (x, y, lamba) minimal
det(H_L) > 0 -> (x, y, lambda) maximal
Wenn meine Rechnungen stimmen, ist der Punkt also ein Minimum? Vor dem Edit meintest du noch ein globales Maximum sehen zu können.
Danke für die Recherche. :)
Da ja scheinbar explizit nach dem Minimum gefragt ist, und dein LGS für die lambda Funktion nur eine Lösung hat, kannste das auch gleich als das Minimum ansehen.
Würde es jetzt mehrere Werte geben, kannste es einfach in die ursprüngliche Funktion einsetzen und schauen welcher Werte der kleinste ist (das Lambda wird hierbei einfach außen vorgelassen).
Alternativ geht natürlich auch die Möglichkeit mit der Hessematix über die Lambda Funktion, sollte diese positiv definit sein, für dein Ergebnis hast du ein lokales Minimum an diesem Punkt.
Das widerspricht ja dann der Recherche von Hagi.
Ich habe tatsächlich nur eine Lösung aus dem LGS, aber wenn ich die Berechnung mit der Hesse Matrix mache, kommt -40 raus, was nicht positiv ist.
e/ Wenn also die einzige Lösung kein Minimum ist, dann gibt es einfach keine Lösung für die Aufgabenstellung "Minimieren Sie die gegebenen Funktionen unter ihren Nebenbedingungen!"
Weiß jetzt aber auch überhaupt nicht mehr, was richtig ist und was nicht :/
TitaN Nick postete
Ja gut, vergessen wir die Aufgabe einfach. Danke schon einmal.
Wie siehts hiermit aus:
Das Minimum von f(x,y) = (x³y +xy - 190) / (x-y) unter x³ +x² -17x = -15 und (y+2)² = 16 finden.
Habe da zwar bisschen angefangen, aber mir fehlt komplett der Ansatz. Irgendwas mit Substitution schätze ich mal...
das ist eine merkwürdige aufgabe!
du hast 2 variablen und 2 bedingungen mit maximal 3 unterschiedlichen lösungen für x und 2 unterschiedlichen lösungen für y. möglicherweise sollst du alle lösungen für x und y miteinander kombineren und gucken wann f(x,y) am kleinsten ist?
Die 5 Werte habe ich raus. Aber wäre wirklich sehr merkwürdig, dass es da jetzt keine Methode gibt, mit der man zur Lösung kommt. Außer in f(x,y) einsetzen natürlich.
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