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a) 2 eigenwerte sind -3 und 2; am bildvektor des dritten vektors sieht man, dass dieser im zum eigenwert -3 gehörigen eigenraum liegt. dim(V) ist 3, insbesondere bilden deine 3 vektoren eine basis, d.h. dim(im(f)) = 2, folglich dim(ker(f)) = 1, folglich -3, 0 und 2 eigenwerte.
die eigenräume zu -3 und 2 sollten klar sein, basen stehn ja da.
sei nun v1, v2, v3 die in der angabe verwendete basis von V, v E V, v = a1v1+a2v2+a3v3
eine basis vom eigenraum zu eigenvektor 0 wäre also beispielsweise 2v1 + v3
b) keine lust das jetzt zu machen
c) wenn du die darstellende matrix A hast einfach det(A-kE) = 0 rechnen. oder i*x*(x-2)*(x+3) rechnen, i irgendeine konstante.
d) f ist offensichtlich nach a) weder injektiv noch surjektiv, also auch nicht bijektiv
Wie kannst du denn 3 eigenwerte haben, das charakt. polynom von der abbildung ergibt doch eine quadrat. gleichung und kann maximal 2 nullstellen haben. Oder wie kommst du auf den eigenwert 0 ?
morgen klausur, brauch dringend hilfe:
klausuraufgaben, zu den ich leider keine lösung habe:
[image]http://i.imgur.com/2OqGg.png[/image]
zu b)
aufn ersten blick divergent gegen inf, allerdings beginnt der index der summe bei k=2, somit kann man die geometrische summenformel nicht anwenden. deswegen würds umschreiben zu:
Summe(k=0) 4/(-2)^k - 4/(-2)^0 - 4/(-2)^1
der summenterm divergiert dann gegen 0. und aus den 2 termen (ohne summenzeichnen) ergibt sich -4 +2. also x = -2.
bin mir allerdings nicht 100%ig sicher.
zu c) absolut keinen plan. erstmal gar keinen plan, was das a bedeuten soll. soll das ne variable sein, von der die konvergenz abhängt?
die fakultät würd ich durch die gaußsche summenformel n! = (n(n+1)/2) ersetzen.
ansonsten ziemlich ratlos!
c) würde ich einfach mit leibnitz kriterium zeigen, sollte net allzu schwierig sein!
b) auf eine form bringen dass du mit der formel für die summe der geometrischen reihe arbeiten kannst. brauchst also eine summe von 0 bis unendlich. also nimmst du einfach die summe von 0 bis unendlich und ziehst die 2 werte die du dazugeben hast wieder ab(0. und 1. glied, also 4 und -2)
zu b)
aufn ersten blick divergent gegen inf, allerdings beginnt der index der summe bei k=2, somit kann man die geometrische summenformel nicht anwenden.
Du kannst die gemoetrische Reihe auch anwenden, wenn du die Summe von k=1000 bis unendlich berechnen sollst. In dem Fall muesstest du nur die Werte der ersten tausend Folgenglieder vom Endergebnis abziehen.
ja gut, dann hab ich doch alles richtig gemacht oder? :) vlt nur etwas schlecht formuliert.
leibnitzkriterium noch nie gehört, taylorreihe ist mir schon mal zu ohren gekommen. klausur ist von nem anderen prof, deswegen lass ich die aufgabe einfach aus, weil ich die form noch nie in übungen gesehen hatte! danke an alle!
Vermutlich haste das wieder vergessen, da es das einfachste Konvergenzkriterium ist. Solltest du dir fuer die Klausur auf jedenfall merken.
Ob du das auf die c) anwenden kannst ist aber eine andere Frage. (2^k) / ( k! * a^k) muss eine monoton fallende Nullfolge sein damit das Kriterium angewendet werden kann. Aber ob du das ohne irgendwelche Beweise annehmen darfst haengt davon ab, ob ihr in der Vorlesung oder Uebung mit k! gearbeitet habt.
Edit: Wobei ich mir spontan auch gar nicht sicher waere, dass es ueberhaupt eine monoton fallende Nullfolge ist (und damit fuer das Leibnitzkriterium in Frage kommt), da fuer das a keine Bedingungen gegeben sind.
hatte ja schon mal vor 2 tagen fast die gleiche aufgabe gepostet, daher weiss ich, dass ich mit der 3. binomischen formel arbeiten muss.
also hab ich den term mit (a-b)/(a-b) erweitert.
als ergebnis erhalte ich dann:
n(a-b)
-------
2
sprich:
n ( wurzel(n²+1) - wurzel(n²-1) )
------------------------------------
2
allerdings fehlen mir jetzt die skills, das ganze weiterzuvereinfachen! danke
// hat sich doch nicht erledigt.
ich hab eben das n² aus der wurzel "rausgezogen"
damit hab ich erhalten:
a) 2 eigenwerte sind -3 und 2; am bildvektor des dritten vektors sieht man, dass dieser im zum eigenwert -3 gehörigen eigenraum liegt. dim(V) ist 3, insbesondere bilden deine 3 vektoren eine basis, d.h. dim(im(f)) = 2, folglich dim(ker(f)) = 1, folglich -3, 0 und 2 eigenwerte.
die eigenräume zu -3 und 2 sollten klar sein, basen stehn ja da.
sei nun v1, v2, v3 die in der angabe verwendete basis von V, v E V, v = a1v1+a2v2+a3v3
eine basis vom eigenraum zu eigenvektor 0 wäre also beispielsweise 2v1 + v3
b) keine lust das jetzt zu machen
c) wenn du die darstellende matrix A hast einfach det(A-kE) = 0 rechnen. oder i*x*(x-2)*(x+3) rechnen, i irgendeine konstante.
d) f ist offensichtlich nach a) weder injektiv noch surjektiv, also auch nicht bijektiv
Wie kannst du denn 3 eigenwerte haben, das charakt. polynom von der abbildung ergibt doch eine quadrat. gleichung und kann maximal 2 nullstellen haben. Oder wie kommst du auf den eigenwert 0 ?
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